题目内容

19.已知f(x)=ex(x-a-1)-$\frac{1}{2}$x2+ax,a>0.
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)若x∈(0,1)时,f(x)<-a-1,求a的取值范围.

分析 (Ⅰ)求导函数,根据导导函数和0的关系由此可得f(x)的单调性;
(Ⅱ)需要分类讨论,根据函数的单调求出函数的最值,即可求出a的范围.

解答 解:(Ⅰ)f′(x)=ex(x-a)-x+a=(x-a)(ex-1),
当x∈(-∞,0)时,f′(x)>0,f(x)单增;
当x∈(0,a)时,f′(x)<0,f(x)单减;
当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单增.
所以,f(x)在(-∞,0)和(a,+∞)分别单调递增;在(0,a)单调递减.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知:
当a≥1时,f(x)在(0,1)单调递减,f(x)<f(0)=-a-1.
当0<a<1时,f(x)在(0,a)单调递减;在(a,1)单调递增,
则f(x)<-a-1当且仅当f(1)=-ae+a-$\frac{1}{2}$≤-a-1,
解得:$\frac{1}{2(e-2)}$≤a<1.
综上:a的取值范围是[$\frac{1}{2(e-2)}$,+∞).

点评 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性和最值,正确运用导数是关键,属于中档题.

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