Question

9．某商场根据市场调研，决定从3种服装商品、2种家电商品和4种日用商品中选出3种商品进行促销活动．
（Ⅰ）求选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率；
（Ⅱ）被选中的促销商品在现价的基础上提高60元进行销售，同时提供3次抽奖的机会，第一次和第二次中奖均可获得奖金40元，第三次中奖可获得奖金30元，假设顾客每次抽奖时中奖与否是等可能的，顾客所得奖金总数为X元，求随机变量X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （I）设选出的3种商品中至少有一种是日用商品为事件A，利用间接法能求出选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率．
（Ⅱ）设顾客抽奖的中奖奖金总额为X，则X的可能取值为0，30，40，80，70，110分别求出P（X=0），P（X=30），P（X=40），P（X=80），P（X=70），P（X=110），由此能求出顾客中奖次数的数学期望EX．

解答 解：（I）从3种服装商品、2种家电商品，4种日用商品中，选出3种商品，一共有${C}_{9}^{3}$种不同的选法，选出的3种商品中，没有日用商品的选法有${C}_{5}^{3}$种．
所以选出的3种商品至少有一种日用商品的概率为P=1-$\frac{{C}_{5}^{3}}{{C}_{9}^{3}}=\frac{37}{42}$．
（Ⅱ）X可能取得值为0，30，40，70，80，110
P（X=0）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$
P（X=30）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$
P（X=40）=${C}_{2}^{1}（\frac{1}{2}）^{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$
P（X=70）=${C}_{2}^{1}（\frac{1}{2}）^{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$
P（X=80）=$（\frac{1}{2}）^{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$
P（X=110）=$（\frac{1}{2}）^{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$
所以X的分布列为

X	0	30	40	70	80	110
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$

EX=$0×\frac{1}{8}+30×\frac{1}{8}+40×\frac{1}{4}+70×\frac{1}{4}$$+80×\frac{1}{8}+110×\frac{1}{8}=55$

点评 本题主要考查超几何分布的应用和随机变量的分布列期望，属中档题型，高考常考题型．