题目内容
如图，在四边形ABCD中，AB=AD=4，BC=CD=
，点E为线段AD上的一点．现将△DCE沿线段EC翻折到PAC，使得平面PAC⊥平面ABCE，连接PA，PB．
（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若∠BAD=60°，且点E为线段AD的中点，求直线PE与平面ABCE所成角的正弦值．
| 7 |
（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若∠BAD=60°，且点E为线段AD的中点，求直线PE与平面ABCE所成角的正弦值．
（Ⅰ）证明：连接AC，BD交于点O，在四边形ABCD中，
∵AB=AD=4，BC=CD=
∴△ABC≌△ADC，∴∠DAC=∠BAC，∴AC⊥BD
又∵平面PAC⊥平面ABCE，且平面PAC∩平面ABCE=AC
∴BD⊥平面PAC…（6分）
（Ⅱ）如图，过点P作AC的垂线，垂足为H，连接EH，EC，并取AO中点F，连接EF，
∵平面PAC⊥平面ABCE，且平面PAC∩平面ABCE=AC，PH⊥AC
∴PH⊥平面ABCE，∴∠PEH即为直线PE与平面ABCE的所成角，
由（Ⅰ）可知，AC⊥BD，且AO=2
，CO=
，
又PE=2，PC=
，设CH=x，则有PH=
，EH=
=
又∵F为AO的中点，在Rt△EFH中，FH=2
-x，EF=1
由勾股定理得，(2
-x)2+1=x2-3，解得x=
，
∴EH=
，PH=
∴直线PE与平面ABCE的所成角的正弦值即sin∠PEH=
=
．
∵AB=AD=4，BC=CD=
| 7 |
∴△ABC≌△ADC，∴∠DAC=∠BAC，∴AC⊥BD
又∵平面PAC⊥平面ABCE，且平面PAC∩平面ABCE=AC
∴BD⊥平面PAC…（6分）
（Ⅱ）如图，过点P作AC的垂线，垂足为H，连接EH，EC，并取AO中点F，连接EF，
∵平面PAC⊥平面ABCE，且平面PAC∩平面ABCE=AC，PH⊥AC
∴PH⊥平面ABCE，∴∠PEH即为直线PE与平面ABCE的所成角，
由（Ⅰ）可知，AC⊥BD，且AO=2
| 3 |
| 3 |
又PE=2，PC=
| 7 |
| 7-x2 |
| PE2-PH2 |
| x2-3 |
又∵F为AO的中点，在Rt△EFH中，FH=2
| 3 |
由勾股定理得，(2
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 3 |
∴EH=
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 3 |
∴直线PE与平面ABCE的所成角的正弦值即sin∠PEH=
| EH |
| PE |
| ||
| 3 |
练习册系列答案
53随堂测系列答案
相关题目
