题目内容
如图，三棱锥P-ABC中，∠ACB=90°，PA⊥底面ABC．
（I）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（II）若AC=BC=PA，M是PB的中点，求AM与平面PBC所成角的正切值．
（I）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（II）若AC=BC=PA，M是PB的中点，求AM与平面PBC所成角的正切值．
（I）证明：∵PA⊥底面ABC，∴BC⊥PA．
∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．
∵PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，
∵BC?平面PBC，
∴平面PAC⊥平面PBC；
（II）取PC中点D，连接AD．
∵AC=PA，∴AD⊥PC，
∵平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC=PC，
∴AD⊥平面PBC，
连接DM，则∠AMD就是AM与平面PBC所成角．
设AC=BC=PA=a，则AD=
，AM=
，∴DM=
，
∴tan∠AMD=
=
，
∴AM与平面PBC所成角的正切值是
．
∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．
∵PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，
∵BC?平面PBC，
∴平面PAC⊥平面PBC；
（II）取PC中点D，连接AD．
∵AC=PA，∴AD⊥PC，
∵平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC=PC，
∴AD⊥平面PBC，
连接DM，则∠AMD就是AM与平面PBC所成角．
设AC=BC=PA=a，则AD=
| a | ||
|
| ||
| 2 |
| a |
| 2 |
∴tan∠AMD=
| AD |
| DM |
| 2 |
∴AM与平面PBC所成角的正切值是
| 2 |
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