题目内容

16.已知函数f(x)=lnx-ax,a∈R.
(1)若a=1,求函数f(x)的单调区间;
(2)求证:对任意给定的正数m,总存在实数a,使函数f(x)在区间(m,+∞)上不单调;
(3)试探究:是否存在实数x1、x2(x2>x1>0),使当x∈[x1,x2]时,函数f(x)的值域为[kx1-1,kx2-1](k∈R)?若存在,试确定实数k的取值范围;若不存在,请说明理由.

分析 (1)求出函数f(x)=lnx-ax(a∈R)的导数,令导数大于0求出函数的增区间,令导数小于0,求出函数的减区间;
(2)采用分类讨论办法给出证明.
(3)利用(2)的结论说明理由.

解答 解:(1)函数的定义域是(0,+∞),
${f}^{′}(x)=\frac{1}{x}-1$>0,得0<x<1,
f′(x)<0,得x>1,
∴函数f(x)的单调增区间(0,1),减区间(1,+∞);
(2)证明:${f}^{′}(x)=\frac{1}{x}-a$,
当a≤0时,f′(x)>0,∴函数f(x)的单调增区间(0,+∞).
当a>0时,f′(x)>0,得$0<x<\frac{1}{a}$;f′(x)<0,$x>\frac{1}{a}$.∴函数f(x)的单调增区间(0,$\frac{1}{a}$),减区间($\frac{1}{a}$,+∞),
∴对任意给定的正数m,总存在实数a,只要m<$\frac{1}{a}$,即m>a时,使函数f(x)在区间(m,+∞)上不单调.
(3)由题意知,若存在实数x1、x2(x2>x1>0),使当x∈[x1,x2]时,函数f(x)的值域为[kx1-1,kx2-1](k∈R),则f(x)为单调增函数,这与(2)矛盾,所以不存在.

点评 本题主要考查函数单调性与其导函数的正负之间的关系,即当导函数大于0时原函数单调递增,当导函数小于0时原函数单调递减.

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