题目内容
4.已知集合M是由具有如下性质的函数f(x)组成的集合:对于函数f(x),在定义域内存在两个变量x1,x2且x1<x2时有f(x1)-f(x2)>x1-x2.则下列函数:①f(x)=ex(x>0)②f(x)=$\frac{lnx}{x}$③f(x)=$\sqrt{x}$④f(x)=1+sinx在集合M中的个数是( )A. | 1个 | B. | 2个 | C. | 3个 | D. | 4个 |
分析 根据条件转化为求函数存在割线斜率小于1,利用导数的应用进行求解.
解答 解:对于函数f(x),在定义域内存在两个变量x1,x2且x1<x2时有f(x1)-f(x2)>x1-x2.
即等价为$\frac{f({x}_{1})-f({x}_{2})}{{x}_{1}-{x}_{2}}$<1
即存在割线斜率小于1,
①若f(x)=ex(x>0),
则函数的导数f′(x)=ex,
∵x>0,∴f′(x)>1,不满足条件.
②若f(x)=$\frac{lnx}{x}$,则函数的导数f′(x)=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$,
则当x=e时,f′(x)=$\frac{1-lne}{{e}^{2}}=0$满足f′(x)<1,即满足条件.
③若f(x)=$\sqrt{x}$,x≥0,
则则函数的导数f′(x)=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$,
则当x=1时,f′(x)=$\frac{1}{2}$满足f′(x)<1,即满足条件.
④若f(x)=1+sinx,则f′(x)=cosx≤1,
故满足f′(x)<1,即满足条件.
故选:C
点评 本题主要考查函数的新定义,利用条件转化为斜率问题,利用导数是解决本题的关键.
练习册系列答案
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19.设f′(x)是f(x)的导函数,f″(x)是f′(x)的导函数,若函数f(x)在区间I上恒有f″(x)≥0,则称f(x)是区间I上的凸函数,则下列函数在[-1,1]上是凸函数的是( )
A. | f(x)=sinx | B. | f(x)=-cosx | C. | f(x)=x3-x | D. | f(x)=-ex |
9.在△ABC中,若b=2asinB,则A等( )
A. | 30° | B. | 60° | C. | 120°或60° | D. | 30°或150° |