题目内容
（本题满分18分，第（1）小题6分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）
若数列
满足：
是常数），则称数列为二阶线性递推数列，且定义方程
为数列的特征方程，方程的根称为特征根； 数列的通项公式
均可用特征根求得：
①若方程有两相异实根
，则数列通项可以写成
，（其中
是待定常数）；
②若方程有两相同实根
，则数列通项可以写成
，（其中是待定常数）；
再利用
可求得
，进而求得．
根据上述结论求下列问题：
（1）当
，
（
）时，求数列的通项公式；
（2）当
，
（）时，求数列的通项公式；
（3）当
，
（）时，记
，若
能被数
整除，求所有满足条件的正整数
的取值集合．
若数列
满足：是常数），则称数列为二阶线性递推数列，且定义方程为数列的特征方程，方程的根称为特征根； 数列的通项公式均可用特征根求得：①若方程
有两相异实根，则数列通项可以写成，（其中是待定常数）；②若方程
有两相同实根，则数列通项可以写成，（其中是待定常数）；再利用
可求得，进而求得．根据上述结论求下列问题：
（1）当
，（）时，求数列的通项公式；（2）当
，（）时，求数列的通项公式；（3）当
，（）时，记，若能被数整除，求所有满足条件的正整数的取值集合．(Ⅰ) 
(Ⅱ) 
（Ⅲ）
(Ⅱ) （Ⅲ）（1）由可知特征方程为：
， 
…………………3分
所以 设
，由
得到
，
所以； …………………6分
（2）由可以得到
设
，则上述等式可以化为：
…………………8分
，所以对应的特征方程为：
，
…………………10分
所以令
，由
可以得出
所以
…………………11分
即…………………12分
（3）同样可以得到通项公式
………14分
所以
即
…………………14分
即
，…………………16分
因此
除以的余数，完全由
除以的余数确定，
因为
所以 
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由以上计算及可知，数列
各项除以的余数依次是：
它是一个以
为周期的数列，从而除以的余数等价于除以
的余数，所以
，
，
即所求集合为：…………………18分
可知特征方程为：， …………………3分所以 设
，由得到， 所以
； …………………6分（2）由
可以得到设
，则上述等式可以化为：…………………8分，所以对应的特征方程为：，…………………10分所以令
，由可以得出所以
…………………11分即
…………………12分（3）同样可以得到通项公式
………14分所以
即
…………………14分即
，…………………16分因此
除以的余数，完全由除以的余数确定，因为
所以 ，，，，，，，，， 由以上计算及
可知，数列各项除以的余数依次是：它是一个以为周期的数列，从而除以的余数等价于除以的余数，所以，，即所求集合为：
…………………18分
练习册系列答案
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为等差数列，
为正整数，其前
项和为
，数列
为等比数列，且
，数列
是公比为64的等比数列，
.
；
.
与—3的等差中项。（1）求
；（2）求数列
的通项公式。
中，
，则
。
,ak=
,则该数列前mk项之和是 .
中，
，求数列
的通项公式；
项和
。
的前
项和为
,且
为一确定的常数,则下列各式中,也为确定的常数的是 ( )
满足
="1," 
=
，且
（n≥2），
则
等于（ ）
