Question

【题目】已知e是自然对数的底数，实数a，b满足eb=2a﹣3，则|2a﹣b﹣1|的最小值为 ．

Answer 1

【答案】3
【解析】解：e是自然对数的底数，实数a，b满足eb=2a﹣3，2a﹣3＞0，可得b=ln（2a﹣3），
|2a﹣b﹣1|=|2a﹣ln（2a﹣3）﹣1|，令2a﹣3=x，上式化为|x﹣lnx+2|，
令y=x﹣lnx+2，可得y′=1﹣ ，由y′=0，可得x=1，当x∈（0，1）时，y′＜0，函数是减函数，
x＞1时，y′＞0，函数是增函数，x=1时，y=x﹣lnx取得最小值：3．
则|2a﹣b﹣1|的最小值为3．
所以答案是：3．
【考点精析】本题主要考查了函数的最值及其几何意义和利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值；一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．