题目内容
【题目】定义：设
为
上的可导函数，若
为增函数，则称
为
上的凸函数.
（1）判断函数
与
是否为凸函数；
（2）设
为
上的凸函数，求证：若
， 
，则
恒有
成立；
（3）设
， 
， 
，求证： 
.
【答案】（1）
不是， 
是；（2）详见解析（3）详见解析
【解析】试题分析：（1）由函数的导函数是否为增函数可得（2）先证明n=2时，不等式成立，再通过数学归纳法证明
时，不等式成立。（3）令
， 
， 
，即证：（
）
成立，由（1）得
为凸函数，而
，即证。
试题解析：（1）因为
的导函数不是增函数，所以
不是凸函数， 
是；
（2）
时，即证： 
且
时， 
不防设
， 
，令
因为
且
时递增函数，所以
，即
为单调递增函数，
所以
，即
；
假设
时，结论成立，
即
， 
， 
， 
，有
成立，
则
时， 
， 
， 
， 
，有
所以
时，结论也成立，
综合以上可得，原结论成立.
（3）令
， 
， 
，即证：（
）
成立，
由（1）得
为凸函数，而
，
有
而
，同理有：
，
则
成立，得证.
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