Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．

（1）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；
（2）若OA= CE，求∠ACB的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB，

在RT△ABC中，由已知可得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，

连接OE，则∠OBE=∠OEB，

又∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，

∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切线；

（2）解：设CE=1，AE=x，

由已知得AB=2 ，BE= ，

由射影定理可得AE2=CEBE，

∴x2= ，即x4+x2﹣12=0，

解方程可得x=

∴∠ACB=60°

【解析】（1）连接AE和OE，由三角形和圆的知识易得∠OED=90°，可得DE是⊙O的切线；（2）设CE=1，AE=x，由射影定理可得关于x的方程x2= ，解方程可得x值，可得所求角度．