Question

2．已知a₁=1，a_n=a_n-1cosx+cos（n-1）x（x≠kπ，k∈z），求a_n．

Answer 1

分析 通过a_n=a_n-1cosx+cos（n-1）x可知a_i+1=a_icosx+cosix（i=0，1，2，…，n），两边同时乘以cos^n-ix并累加、整理即得结论．

解答 解：∵a_n=a_n-1cosx+cos（n-1）x，
∴a_i+1=a_icosx+cosix（i=0，1，2，…，n），
∴cos^n-ix•a_i+1=a_icos^n-i+1x+cos^n-ix•cosix（i=0，1，2，…，n），
累加得：a_n+1+$\sum_{i=1}^{n}$cos^n-ix•a_i+1=a₁•cosⁿx+$\sum_{i=1}^{n}$cos^n-ix•a_i+1+$\sum_{i=0}^{n}$cos^n-ix•cosix，
∴a_n+1=a₁•cosⁿx+$\sum_{i=0}^{n}$cos^n-ix•cosix，
又∵a₁=1，
∴a_n+1=cosⁿx+$\sum_{i=0}^{n}$cos^n-ix•cosix，
∴a_n=cos^n-1x+$\sum_{i=0}^{n-1}$cos^n-i-1x•cosix
=2cos^n-1x+$\sum_{i=1}^{n-1}$cos^n-i-1x•cosix．

点评 本题考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．