题目内容
(本小题满分12分)已知f (x)=(1+x)m+(1+2x)n(m,n∈N*)的展开式中x的系数为11.
(1)求x2的系数的最小值;
(2)当x2的系数取得最小值时,求f (x)展开式中x的奇次幂项的系数之和.
解: (1)由已知+2=11,∴m+2n=11,x2的系数为
+22=+2n(n-1)=+(11-m)(-1)=(m-)2+.
∵m∈N*,∴m=5时,x2的系数取最小值22,此时n=3.
(2)由(1)知,当x2的系数取得最小值时,m=5,n=3,
∴f (x)=(1+x)5+(1+2x)3.设这时f (x)的展开式为f (x)=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,
令x=1,a0+a1+a2+a3+a4+a5=25+33,
令x=-1,a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1,
两式相减得2(a1+a3+a5)=60, 故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30.
(1)求x2的系数的最小值;
(2)当x2的系数取得最小值时,求f (x)展开式中x的奇次幂项的系数之和.
解: (1)由已知+2=11,∴m+2n=11,x2的系数为
+22=+2n(n-1)=+(11-m)(-1)=(m-)2+.
∵m∈N*,∴m=5时,x2的系数取最小值22,此时n=3.
(2)由(1)知,当x2的系数取得最小值时,m=5,n=3,
∴f (x)=(1+x)5+(1+2x)3.设这时f (x)的展开式为f (x)=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,
令x=1,a0+a1+a2+a3+a4+a5=25+33,
令x=-1,a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1,
两式相减得2(a1+a3+a5)=60, 故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30.
略
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