题目内容

(本小题满分12分)已知f (x)=(1+x)m+(1+2x)n(mn∈N*)的展开式中x的系数为11.
(1)求x2的系数的最小值;
(2)当x2的系数取得最小值时,求f (x)展开式中x的奇次幂项的系数之和.
解: (1)由已知+2=11,∴m+2n=11,x2的系数为
+22+2n(n-1)=+(11-m)(-1)=(m)2.
m∈N*,∴m=5时,x2的系数取最小值22,此时n=3.
(2)由(1)知,当x2的系数取得最小值时,m=5,n=3,
f (x)=(1+x)5+(1+2x)3.设这时f (x)的展开式为f (x)=a0a1xa2x2a5x5
x=1,a0a1a2a3a4a5=2533
x=-1,a0a1a2a3a4a5=-1,
两式相减得2(a1a3a5)=60, 故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30.
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