题目内容

如图,已知抛物线C:y2=4x焦点为F,直线l经过点F且与抛物线C相交于A,B两点
(Ⅰ)若线段AB的中点在直线y=1上,求直线l的方程;
(Ⅱ)若线段|AB|=20,求直线l的方程.
(Ⅰ)由已知得交点坐标为F(1,0),…(1分)
设直线l的斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点M(x0,y0
x0=
x1+x2
2
y0=
y1+y2
2
y12=4x1
y22=4x2
⇒(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2)

所以2y0k=4,又y0=1,所以k=2…(5分)
故直线l的方程是:y=2x-2…(6分)
(Ⅱ)设直线l的方程为x=my+1,…(7分)
与抛物线方程联立得
x=my+1
y2=4x

消元得y2-4my-4=0,…(8分)
所以有y1+y2=4m,y1y2=-4,△=16(m2+1)>0
|AB|=
m2+1
|y1-y2|
=
m2+1
(y1+y2)2-4y1y2
=
m2+1
(4m)2-4×(-4)
=4(m2+1)
…(10分)
所以有4(m2+1)=20,解得m=±2,…(12分)
所以直线l的方程是:x=±2y+1,即x±2y-1=0…(13分)
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