题目内容

15.如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1E夹角的余弦值为(  )
A.$\frac{\sqrt{5}}{5}$B.$\frac{\sqrt{5}}{2}$C.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$D.$\frac{5}{2}$

分析 设CA=2,由条件及建立的空间直角坐标系,可求出点A,B,B1,C1几点的坐标,从而得到向量$\overrightarrow{B{C}_{1}}$,$\overrightarrow{A{B}_{1}}$的坐标,由向量夹角余弦的坐标公式即可求出$cos<\overrightarrow{B{C}_{1}},\overrightarrow{A{B}_{1}}>$,从而便得出直线BC1与直线AB1夹角的余弦值.

解答 解:设CA=2,根据条件可求以下几点坐标:
A(2,0,0),B1(0,2,1),B(0,0,1),C1(0,2,0);
∴$\overrightarrow{B{C}_{1}}=(0,2,-1),\overrightarrow{A{B}_{1}}=(-2,2,1)$;
∴cos$<\overrightarrow{B{C}_{1}},\overrightarrow{A{B}_{1}}>$=$\frac{\overrightarrow{B{C}_{1}}•\overrightarrow{A{B}_{1}}}{|\overrightarrow{B{C}_{1}}||\overrightarrow{A{B}_{1}}|}=\frac{3}{\sqrt{5}•3}=\frac{\sqrt{5}}{5}$.
∴直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$.
故选:A.

点评 考查利用空间向量解决异面直线所成角问题的方法,能求空间点的坐标,由点的坐标求向量的坐标,向量夹角余弦的坐标公式,清楚两异面直线的方向向量的夹角和这两异面直线所成角的关系.

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