Question

5．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一个顶点为A（2，0），离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线y=x-1与椭圆C交于不同的两点M，N，求弦长MN．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意代入A点坐标求出a的值，根据离心率求出c值，进而根据b²=a²-c²，则椭圆C的标准方程可求；
（Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程后，利用根与系数关系写出两交点横坐标的和与积，最后由弦长公式求解．

解答 解：（I）设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
∵椭圆C的一个顶点为A（2，0），
∴a=2，
又∵椭圆C的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴c=$\sqrt{3}$，
∴b²=a²-c²=1，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，
（II）设设M（x₁，y₁）  N（x₂，y₂），
将y=x-1代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$得：5x²-8x=0，
解得x₁+x₂=$\frac{8}{5}$，x₁•x₂=0…（9分）
则MN=$\sqrt{1+{1}^{2}}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}•{x}_{2}}$=$\frac{8\sqrt{2}}{5}$…（12分）

点评 本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和椭圆的关系，练习了弦长公式，是中档题．