Question

3．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，4sin²$\frac{B+C}{2}$-cos2A=$\frac{7}{2}$．
（1）求A的度数；
（2）若$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CA}$=-12，求△ABC的面积；
（3）若b+c=1，求三角形周长的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先根据二倍角的余弦函数公式及诱导公式化简得到关于cosA的一元二次方程，解出cosA，根据角的范围，利用特殊角的三角函数值求出A即可；
（2）利用向量的数量积求出bc=24，利用三角形的面积公式进行求解即可．
（3）根据余弦定理结合基本不等式求出a的取值范围即可求出周长的取值范围．

解答 解：（1）由4sin²$\frac{B+C}{2}$-cos2A=$\frac{7}{2}$得：2[1-cos（B+C）]-cos2A=$\frac{7}{2}$，
即4cos²A-4cosA+1=0，
则（2cosA-1）²=0，
解得cosA=$\frac{1}{2}$，
∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CA}$=-12，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=12，
即$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|cosA=$\frac{1}{2}$bc=12，
∴bc=24，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×24×\frac{\sqrt{3}}{2}$=6$\sqrt{3}$．
（3）∵b+c=1，
∴1=b+c$≥2\sqrt{bc}$，
即0＜bc$≤\frac{1}{4}$，当且仅当b=c=$\frac{1}{2}$取等号，
则由余弦定理得a²=b²+c²-2bccos$\frac{π}{3}$=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=1-3bc，
∵0＜bc$≤\frac{1}{4}$，∴-$\frac{1}{4}$≤-bc＜0，
∴-$\frac{3}{4}$≤-3bc＜0，$\frac{1}{4}$≤1-3bc＜1，
即$\frac{1}{4}$≤a²＜1，则$\frac{1}{2}$≤a＜1，
则$\frac{1}{2}$+1≤a+b+c＜1+1，
即$\frac{3}{2}$≤a+b+c＜2，
即三角形的周长的取值范围是[$\frac{3}{2}$，2）．

点评 本题主要考查三角函数式的化简，以及三角形面积公式的应用，结合余弦定理以及基本不等式是解决本题的关键．综合性较强，涉及的知识点较多．