Question

12．已知函数f（x）=$\frac{4^x}{{2+{4^x}}}$
（1）求$f（{\frac{1}{2}}）$；
（2）求f（x）+f（1-x）的值；
（3）求$f（{\frac{1}{10}}）+f（{\frac{2}{10}}）+f（{\frac{3}{10}}）+…+f（{\frac{8}{10}}）+f（{\frac{9}{10}}）的值$．

Answer 1

分析 （1）根据已知中函数f（x）=$\frac{4^x}{{2+{4^x}}}$，将x=$\frac{1}{2}$代入可得答案；
（2）求出f（1-x）的表达式，相加可得f（x）+f（1-x）=1；
（3）根据（2）中结论，可得$f（{\frac{1}{10}}）+f（{\frac{2}{10}}）+f（{\frac{3}{10}}）+…+f（{\frac{8}{10}}）+f（{\frac{9}{10}}）的值$．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{4^x}{{2+{4^x}}}$，
∴$f（{\frac{1}{2}}）$=$\frac{{4}^{\frac{1}{2}}}{2+{4}^{\frac{1}{2}}}$=$\frac{2}{2+2}$=$\frac{1}{2}$；
（2）∵f（1-x）=$\frac{{4}^{1-x}}{2+{4}^{1-x}}$=$\frac{{4}^{\;}}{2•{4}^{x}+{4}^{\;}}$=$\frac{2}{2+{4}^{x}}$，
∴f（x）+f（1-x）=$\frac{4^x}{{2+{4^x}}}$+$\frac{2}{2+{4}^{x}}$=1，
（3）由（2）知：$f（\frac{1}{10}）+f（\frac{2}{10}）+f（\frac{3}{10}）+…+f（\frac{8}{10}）+f（\frac{9}{10}）$=$\frac{9}{2}$

点评 本题考查的知识点是函数求值，其中得到f（x）+f（1-x）=1是解答的关键．