Question

20．如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA出发，绕着点O顺时针方向旋转至OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x（x∈[0，π），OP所经过的在正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积S=f（x），那么对于函数f（x）有以下三个结论：
①f（$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
②函数f（x）在（$\frac{π}{2}$，π）上为减函数
③任意x∈[0，$\frac{π}{2}$]，都有f（$\frac{π}{2}$-x）+f（$\frac{π}{2}$+x）=4
其中所有正确结论的序号是①③．

Answer 1

分析 ①直接带入求解②结合图象可知f（x）为增函数③利用图形的对称关系即可判断．

解答 解：①∵$\frac{π}{3}$＜arctan2，∴射线OP交正方形ABCD与AB边，设交点为M，则AM=$\sqrt{3}$，∴f（$\frac{π}{3}$ ）=$\frac{1}{2}$•OA•AM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，①正确；
②由图形可知当x逐渐增大时，OP所经过的在正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积逐渐增大，所以f（x）为增函数，②不正确；
③由图形对称性可得：?x∈[0，π]），f（x）+f（π-x）=4，∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，$\frac{π}{2}-x$$∈[0，\frac{π}{2}]$∴f（$\frac{π}{2}-x$）+f（π-（$\frac{π}{2}-x$））=4，
即f（ $\frac{π}{2}$-x）+f（ $\frac{π}{2}$+x）=4，③正确；
故答案为：①③．

点评 本题考查了图形面积的计算、简易逻辑的判定，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题．