题目内容
20.已知函数f(x)=aln(x-1)+x2-3x+b(a,b∈R).(Ⅰ)若函数f (x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为x+y-1=0,求a,b的值;
(Ⅱ)若函数f(x)在区间〔2,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围.
分析 (Ⅰ)求出函数的导数,由题意可得f(2)=-1,f′(2)=-1,列出方程,解方程可得a,b的值;
(Ⅱ)f′(x)=$\frac{a}{x-1}$+2x-3≥0在区间〔2,+∞)上恒成立,即有a≥(x-1)(3-2x)对x≥2恒成立,运用二次函数的单调性可得最大值,即可得到a的范围.
解答 解:(Ⅰ)函数f(x)=aln(x-1)+x2-3x+b的导数为f′(x)=$\frac{a}{x-1}$+2x-3,
函数f (x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为x+y-1=0,
即有f(2)=-1,f′(2)=-1,
即b-2=-1,a+1=-1,解得a=-2,b=1;
(Ⅱ)f′(x)=$\frac{a}{x-1}$+2x-3≥0在区间〔2,+∞)上恒成立,
即有a≥(x-1)(3-2x)对x≥2恒成立,
由y=(x-1)(3-2x)=-2x2+5x-3的对称轴为x=$\frac{5}{4}$<2,
可得函数y在[2,+∞)递减,即有x=2处取得最大值-1,
则a≥-1,即实数a的取值范围为[-1,+∞).
点评 本题考查导数的运用:求切线的斜率和单调性,考查不等式恒成立问题的解法,注意运用参数分离和二次函数的最值的求法,属于中档题.
练习册系列答案
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