题目内容

【题目】已知椭圆经过点,长轴长是短轴长的2倍.

(1)求椭圆的方程;

(2)设直线经过点且与椭圆相交于两点(异于点),记直线的斜率为,直线的斜率为,证明:为定值,并求出该定值.

【答案】(1) ;(2)1。

【解析】

(1) 由椭圆的方程可知,椭圆的焦点在轴上,经过点,可以求出,长轴长是短轴长的2倍,可以求出,由此可以求出椭圆的标准方程。

(2)设出直线的方程,与椭圆的方程联立,根据一元二次方程根与系数的关系,对进行化简。

(1)由椭圆可知椭圆的焦点在轴上,经过点所以=1,又因为长轴长是短轴长的2倍,所以=2,因此椭圆的标准方程为:

(2)若直线的斜率不存在,即直线的方程为,与椭圆只有一个交点,不符合题意。

设直线的斜率为,若=0,直线与椭圆只有一个交点,不符合题意,故

所以直线的方程为,即, 直线的方程与椭圆的标准方程联立得:消去得,

,则

代入上式,得

,命题得证。

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