Question

【题目】如图，已知椭圆的左焦点为，过点F做x轴的垂线交椭圆于A，B两点，且．

(1)求椭圆C的标准方程：

(2)若M，N为椭圆上异于点A的两点，且直线的倾斜角互补，问直线MN的斜率是否为定值?若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】试题分析:(1) 由题意可知，令，代入椭圆可得，又，解出a,b,可得椭圆方程;(2) 由（1）可知， ，代入椭圆可得，所以， 因为直线的倾斜角互补，所以直线的斜率与的斜率互为相反数；设直线方程为： ，与椭圆方程联立,根据韦达定理可求出点M的坐标,同理求出N点坐标,根据两点的斜率公式,代入化简可得定值.

试题解析:

（1）由题意可知，

令，代入椭圆可得，所以，又，

两式联立解得： ，

.

（2）由（1）可知， ，代入椭圆可得，所以，

因为直线的倾斜角互补，所以直线的斜率与的斜率互为相反数；

可设直线方程为： ，代入得：

，

设, ,因为点在椭圆上，

所以， ， ，

又直线的斜率与的斜率互为相反数，在上式中以代替，可得

， ,

所以直线的斜率，

即直线的斜率为定值，其值为.

点睛: 本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．