题目内容
【题目】如图所示，在四棱锥
中，底面
是矩形，
平面，AB 1，AP AD 2.
（1）求直线
与平面
所成角的正弦值；
（2）若点M，N分别在AB，PC上，且
平面，试确定点M，N的位置．
【答案】（1）
；（2）M为AB的中点，N为PC的中点
【解析】
（1）由题意知，AB，AD，AP两两垂直．以
为正交基底，建立空间直角坐标系
，求平面PCD的一个法向量为
，由空间向量的线面角公式求解即可；（2）设
，利用
平面PCD，所以
∥，得到
的方程，求解即可确定M,N的位置
（1）由题意知，AB，AD，AP两两垂直．
以为正交基底，建立如图所示的空间
直角坐标系，则
从而
设平面PCD的法向量
则
即
不妨取
则
．
所以平面PCD的一个法向量为
．
设直线PB与平面PCD所成角为
所以
即直线PB与平面PCD所成角的正弦值为．
（2）设则
设
则
而
所以
．由（1）知，平面PCD的一个法向量为，因为平面PCD，所以∥．
所以
解得，
．
所以M为AB的中点，N为PC的中点．
【题目】“冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的慈善公益活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动.若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动.假设每个人接受挑战和不接受挑战是等可能的，且互不影响.
（1）若某参与者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少？
（2）为了解冰桶挑战赛与受邀者的性别是否有关，某调查机构进行了随机抽样调查，调查得到如下
列联表：
性别 成绩 | 接受挑战 | 不接受挑战 | 总计 |
男性 | 45 | 15 | 60 |
女性 | 25 | 15 | 40 |
总计 | 70 | 30 | 100 |
根据表中数据，能有有90%的把握认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”？
附：
，其中
.
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
| 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.001 |
