Question

已知函数f(x)=

1

2

x2-mlnx+(m-1)x，m∈R．
（1）当m=2时，求函数f（x）的最小值；
（2）当m≤0时，讨论函数f（x）的单调性；
（3）求证：当m=-2时，对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞-1．

Answer 1

（1）显然函数f（x）的定义域为（0，+∞），
当m=2时，f′(x)=

x2+x-2

x

=

(x-1)(x+2)

x

．
∴当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，
x∈（1，+∞），f'（x）＞0．
∴f（x）在x=1时取得最小值，其最小值为f（1）=

3

2

．
（2）∵f′(x)=x-

m

x

+(m-1)=

x2+(m-1)x-m

x

=

(x-1)(x+m)

x

∴①当-1＜m≤0即-m＜1时，
若x∈（0，-m）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；
x∈（-m，1）时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；
x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数
②当m=-1时，
f′(x)=

(x-1)2

x

≥0，函数f（x）在（0，+∞）上为增函数．
③当m＜-1即-m＞1时，
x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；
x∈（1，-m）时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；
x∈（-m，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数．
证明：（3）不妨设0＜x₁＜x₂，要证明

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞-1，
即证明：f（x₂）+x₂＞f（x₁）+x₁
当m=-2时，函数f(x)=

1

2

x2+2lnx-3x．
考查函数h(x)=f(x)+x=

1

2

x2+2lnx-2x
∵h′(x)=x+

2

x

-2=

x2-2x+2

x

=

(x-1)2+1

x

＞0
∴h（x）在（0，+∞）上是增函数，
对任意0＜x₁＜x₂，h（x₂）＞h（x₁），
所以f（x₂）+x₂＞f（x₁）+x₁，
∴

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞-1
命题得证