题目内容
12.如图,在圆柱EF中,底面圆的半径为2,母线长为6,$\widehat{AB}$和$\widehat{CD}$的长均为所在圆的周长的$\frac{1}{6}$,若沿着面ABCD将圆柱截开,试求所截得的体积较小的几何体的体积V.分析 连接FA,FB,EC,ED,EF,由$\widehat{AB}$和$\widehat{CD}$的长均为所在圆的周长的$\frac{1}{6}$得底面三角形为等边三角形,故所求几何体体积等于圆柱体积的$\frac{1}{6}$减去三棱柱的体积.
解答 解:如图所示,连接FA,FB,EC,ED,EF.
∵$\widehat{AB}$和$\widehat{CD}$的长均为所在圆的周长的$\frac{1}{6}$,
∴∠AEB=∠CED=$\frac{π}{3}$,∵AF=BF=2,
∴△ABF,△CDE是等边三角形,
∴S△ABF=$\frac{\sqrt{3}}{4}•{2}^{2}$=$\sqrt{3}$.
∴V棱柱ABF-DCE=S△ABF•EF=6$\sqrt{3}$.
V圆柱EF=π•AF2•EF=24π,
∴V=$\frac{1}{6}$V圆柱EF-V棱柱ABF-DCE=4π-6$\sqrt{3}$
点评 本题考查了空间几何体的体积求法,使用作差法求体积是常用的求不规则几何体体积的一种方法.
练习册系列答案
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