Question

4．已知点A（1，-2，2），B（2，-2，1），C（6，5，2），O为坐标原点，则三棱锥O-ABC的体积为（　　）

• A． $\frac{65}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{65}}{3}$
• C． $\frac{31}{6}$
• D． $\frac{65}{6}$

Answer 1

分析 由已知可得cos＜$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$＞=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OB}|}$，S_△AOB=$\frac{1}{2}×|\overrightarrow{OA}|×|\overrightarrow{OB}|$×sin＜$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$＞．设平面OAB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OA}=x-2y+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OB}=2x-2y+z=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$，则点C到平面OAB的距离d=$\frac{\overrightarrow{|AC}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$，利用三棱锥O-ABC的体积V=$\frac{1}{3}d•{S}_{AOB}$即可得出．

解答 解：∵点A（1，-2，2），B（2，-2，1），C（6，5，2），0为坐标原点，
∴$\overrightarrow{OA}$=（1，-2，2），$\overrightarrow{OB}$=（2，-2，1），$\overrightarrow{OC}$=（6，5，2），
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=2+4+2=8，
∵|$\overrightarrow{OA}$|=$\sqrt{1+4+4}$=3，|$\overrightarrow{OB}$|=$\sqrt{4+4+1}$=3，|$\overrightarrow{OC}$|=$\sqrt{36+25+4}$=$\sqrt{65}$，
∴cos＜$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$＞=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OB}|}$=$\frac{8}{9}$，
S_△AOB=$\frac{1}{2}×|\overrightarrow{OA}|×|\overrightarrow{OB}|$×sin＜$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$＞
=$\frac{1}{2}$×3×3×$\sqrt{1-（\frac{8}{9}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{17}}{2}$，
设平面OAB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OA}=x-2y+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OB}=2x-2y+z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\frac{3}{2}$，1），
$\overrightarrow{AC}$=（5，7，0），
则点C到平面OAB的距离d=$\frac{\overrightarrow{|AC}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{5+\frac{21}{2}}{\sqrt{2+\frac{9}{4}}}$=$\frac{31}{\sqrt{17}}$，
∴三棱锥O-ABC的体积V=$\frac{1}{3}d•{S}_{AOB}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{17}}{2}×\frac{31}{\sqrt{17}}$=$\frac{31}{6}$．
故选：C．

点评 本题考查了向量的夹角公式、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式、法向量的应用、线面垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．