题目内容
【题目】如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD，BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2＝EF·EC.
(1)求证：∠P＝∠EDF；
(2)求证：CE·EB＝EF·EP；
(3)若CE∶BE＝3∶2，DE＝6，EF＝4，求PA的长．
【答案】(1)见解析(2)见解析（3）
【解析】(1)证明 ∵DE2＝EF·EC，∴DE∶CE＝EF∶ED.
∵∠DEF是公共角，∴△DEF∽△CED.
∴∠EDF＝∠C.
∵CD∥AP，∴∠C＝∠P.
∴∠P＝∠EDF.
(2)证明 ∵∠P＝∠EDF，∠DEF＝∠PEA，
∴△DEF∽△PEA.
∴DE∶PE＝EF∶EA.即EF·EP＝DE·EA.
∵AD、BC相交于点E，
∴DE·EA＝CE·EB.∴CE·EB＝EF·EP.
(3)解 ∵DE2＝EF·EC，DE＝6，EF＝4，∴EC＝9.
∵CE∶BE＝3∶2，∴BE＝6.
∵CE·EB＝EF·EP，∴9×6＝4×EP.
解得：EP＝
.
∴PB＝PE－BE＝
，PC＝PE＋EC＝
.
由切割线定理得：PA2＝PB·PC，
∴PA2＝
×
，
∴PA＝
.
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