题目内容
【题目】己知函数,
+1.
(1)若,曲线y=f(x)与
在x=0处有相同的切线,求b;
(2)若,求函数
的单调递增区间;
(3)若对任意
恒成立,求b的取值区间
【答案】(1)(2)
(3)
【解析】试题分析:(1)当时,曲线
与
在
处的有相同的切线方程,可得
,即可求
的值;(2)设
,求出
,
求得
的范围,可得函数
增区间,
求得
的范围,可得函数
的减区间;(3)当
时,令
,分两种情况讨论,利用导数研究函数的单调性,求出最大值 ,进而可得结果.
试题解析:(1)
,
,
,
,
f(x) 与g(x) 在x=0处有相同的切线,
.
(2)若,则y=f(x)g(x)=
,
所以
又,
所以函数y=f(x)g(x)的单调递增区间为
(3) 由a=0,则,
,
①当时,
,函数
在
单调递增,
又,
时,
,即
恒成立.
②当时,
,
;
,
函数
在
单调递减;
单调递增,
(ⅰ)当时,
,又
,
,
而当时,
,则
,
与相矛盾.
(ⅱ)当时,
,
函数
在
单调递减,
,与
矛盾.
故的取值区间为
.
【方法点晴】本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的恒成立和导数的几何意义,属于难题.利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤:①确函数
的定义域;②对
求导;③令
,解不等式得
的范围就是递增区间;令
,解不等式得
的范围就是递减区间;④根据单调性求函数
的极值及最值(闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小).
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