Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求函数的单调区间和极值；

（2）若不等式恒成立，求的值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）1.

【解析】

（1）a＝1时，f（x）＝，f′（x）＝，令f′（x）＝＝0，解得x＝e.通过列表可得函数f（x）的单调递区间及其极值.（2）由题意可得：x＞0，由不等式恒成立，即x﹣1﹣alnx≥0恒成立.令g（x）＝x﹣1﹣alnx≥0，g（1）＝0，x∈（0，+∞）.g′（x）＝1﹣＝.对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出.

（1）a＝1时，f（x）＝，f′（x）＝，

令f′（x）＝＝0，解得x＝e.

x	（0，e）	e	（e，+∞）
f′（x）	+	0	﹣
f（x）	单调递增	极大值	单调递减

可得函数f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞），可得极大值为f（e）＝，为极小值.

（2）由题意可得：x＞0，由不等式恒成立，即x﹣1﹣alnx≥0恒成立.

令g（x）＝x﹣1﹣alnx≥0，g（1）＝0，x∈（0，+∞）.

g′（x）＝1﹣＝.

①若a＜0，则函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，又g（1）＝0，∴x∈（0，1）时，g（x）＜0，不符合题意，舍去.

②若0＜a＜1，则函数g（x）在（a，+∞）上g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，又g（1）＝0，∴x∈（a，1）时，g（x）＜0，不符合题意，舍去.

③若a＝1，则函数g（x）在（1，+∞）上g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，x∈（a，1）时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减.

∴x＝1时，函数g（x）取得极小值即最小值，又g（1）＝0，∴x＞0时，g（x）≥0恒成立.

③若1＜a，则函数g（x）在（0，a）上g′（x）＜0，即函数g（x）单调递减，又g（1）＝0，∴x∈（1，a）时，g（x）＜0，不符合题意，舍去.

综上可得：a＝1.