题目内容
【题目】已知函数
.
（1）当
时，求函数
的单调区间和极值；
（2）若不等式
恒成立，求
的值.
【答案】（1）见解析；（2）1.
【解析】
（1）a＝1时，f（x）＝
，f′（x）＝
，令f′（x）＝＝0，解得x＝e.通过列表可得函数f（x）的单调递区间及其极值.（2）由题意可得：x＞0，由不等式
恒成立，即x﹣1﹣alnx≥0恒成立.令g（x）＝x﹣1﹣alnx≥0，g（1）＝0，x∈（0，+∞）.g′（x）＝1﹣
＝
.对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出.
（1）a＝1时，f（x）＝，f′（x）＝，
令f′（x）＝＝0，解得x＝e.
x | （0，e） | e | （e，+∞） |
f′（x） | + | 0 | ﹣ |
f（x） | 单调递增 | 极大值 | 单调递减 |
可得函数f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞），可得极大值为f（e）＝
，为极小值.
（2）由题意可得：x＞0，由不等式恒成立，即x﹣1﹣alnx≥0恒成立.
令g（x）＝x﹣1﹣alnx≥0，g（1）＝0，x∈（0，+∞）.
g′（x）＝1﹣＝.
①若a＜0，则函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，又g（1）＝0，∴x∈（0，1）时，g（x）＜0，不符合题意，舍去.
②若0＜a＜1，则函数g（x）在（a，+∞）上g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，又g（1）＝0，∴x∈（a，1）时，g（x）＜0，不符合题意，舍去.
③若a＝1，则函数g（x）在（1，+∞）上g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，x∈（a，1）时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减.
∴x＝1时，函数g（x）取得极小值即最小值，又g（1）＝0，∴x＞0时，g（x）≥0恒成立.
③若1＜a，则函数g（x）在（0，a）上g′（x）＜0，即函数g（x）单调递减，又g（1）＝0，∴x∈（1，a）时，g（x）＜0，不符合题意，舍去.
综上可得：a＝1.
