Question

【题目】如图，已知椭圆的左右顶点分别是，离心率为，设点，连接交椭圆于点，坐标原点是．

（1）证明： ；

（2）设三角形的面积为，四边形的面积为， 若 的最小值为1，求椭圆的标准方程．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）根据离心率为，可得，联立直线与椭圆的方程即可求出点的坐标，从而可得直线的斜率，再根据直线的斜率，即可证明；（2）由（1）知， ，根据的最小值为1，即可求出的值，从而求出椭圆的标准方程.

试题解析：（1）由 得， .

∴ ，即 .

∴椭圆的方程为 ，

由，整理得： ，由 可得 ， 则点的坐标是，故直线的斜率为

∵直线的斜率为

∴

∴.

（2）由（1）知， ， ∴.

∴当时，

∴ ，

∴椭圆方程为.