已知椭圆C1:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的左右焦点分别为F.F′.双曲线C2:$\frac{x^2}{{{a^2}-{b^2}}}-\frac{y^2}{b^2}$=1与椭圆C1在第一象限的一个交点为P.有以下四个结论:①$\overrightarrow{PF}•\overrightarrow{P{F^'}}$＞0.且三角形PFF� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．

已知椭圆C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左右焦点分别为F，F′，双曲线C₂：$\frac{x^2}{{{a^2}-{b^2}}}-\frac{y^2}{b^2}$=1与椭圆C₁在第一象限的一个交点为P，有以下四个结论：
①$\overrightarrow{PF}•\overrightarrow{P{F^'}}$＞0，且三角形PFF′的面积小于b²；
②当a=$\sqrt{2}$b时，∠PF′F-∠PFF′=$\frac{π}{2}$；
③分别以PF，FF′为直径作圆，这两个圆相内切；
④曲线C₁与C₂的离心率互为倒数．
其中正确的有（　　）

A．

4个

B．

3个

C．

2个

D．

1个

分析根据题意，写出F′、F、B₁各点坐标，通过联立椭圆与双曲线的方程及点P在第一象限，可得P（$\frac{a\sqrt{2（{a}^{2}-{b}^{2}）（2{a}^{2}-{b}^{2}）}}{2{a}^{2}-{b}^{2}}$，$\frac{{b}^{2}\sqrt{2{a}^{2}-{b}^{2}}}{2{a}^{2}-{b}^{2}}$），①通过计算$\overrightarrow{PF}•\overrightarrow{P{F^'}}$、
S_△PFF′，可得①正确；②当a=$\sqrt{2}$b时，通过计算可得cos（∠PF′F-∠PFF′）=cos∠PF′Fcos∠PFF′+sin∠PF′Fsin∠PFF′=0，故②正确；③举出反例，当a=$\sqrt{2}$b时不成立，故③不正确； ④直接计算出曲线C₁与C₂的离心率即可④正确．

解答解：根据题意，得F′（$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$，0），F（-$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$，0），B₁（0，b），
联立椭圆与双曲线的方程$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}-{b}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，消去y，得${x}^{2}=\frac{2{a}^{2}（{a}^{2}-{b}^{2}）}{2{a}^{2}-{b}^{2}}$，
又∵点P在第一象限，∴P（$\frac{a\sqrt{2（{a}^{2}-{b}^{2}）（2{a}^{2}-{b}^{2}）}}{2{a}^{2}-{b}^{2}}$，$\frac{{b}^{2}\sqrt{2{a}^{2}-{b}^{2}}}{2{a}^{2}-{b}^{2}}$），
①$\overrightarrow{PF}•\overrightarrow{P{F^'}}$=（-$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$-$\frac{a\sqrt{2（{a}^{2}-{b}^{2}）（2{a}^{2}-{b}^{2}）}}{2{a}^{2}-{b}^{2}}$，-$\frac{{b}^{2}\sqrt{2{a}^{2}-{b}^{2}}}{2{a}^{2}-{b}^{2}}$）•（$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$-$\frac{a\sqrt{2（{a}^{2}-{b}^{2}）（2{a}^{2}-{b}^{2}）}}{2{a}^{2}-{b}^{2}}$，-$\frac{{b}^{2}\sqrt{2{a}^{2}-{b}^{2}}}{2{a}^{2}-{b}^{2}}$）
=2$\frac{{a}^{2}（{a}^{2}-{b}^{2}）}{2{a}^{2}-{b}^{2}}$-（a²-b²）+$\frac{{b}^{4}}{2{a}^{2}-{b}^{2}}$
=$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{2{a}^{2}-{b}^{2}}$＞0，
三角形PFF′的面积为$\frac{1}{2}|F′F|y$=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$×$\frac{{b}^{2}\sqrt{2{a}^{2}-{b}^{2}}}{2{a}^{2}-{b}^{2}}$＜b²，故①正确；
②当a=$\sqrt{2}$b时，有a²=2b²，则F′（b，0），F（-b，0），$P（\frac{2\sqrt{3}b}{3}，\frac{\sqrt{3}b}{3}）$，
∴$\overrightarrow{F′P}$=（$\frac{2\sqrt{3}-3}{3}b$，$\frac{\sqrt{3}b}{3}$），$\overrightarrow{FP}$=（$\frac{2\sqrt{3}+3}{3}b$，$\frac{\sqrt{3}b}{3}$），$\overrightarrow{F′F}$=（-2b，0），
∴$|\overrightarrow{F′P}|$=$\frac{\sqrt{6}（\sqrt{3}-1）b}{3}$，$|\overrightarrow{FP}|$=$\frac{\sqrt{6}（\sqrt{3}+1）b}{3}$，$|\overrightarrow{F′F}|$=2b，
∴cos∠PF′F=$\frac{\overrightarrow{F′F}•\overrightarrow{F′P}}{|\overrightarrow{F′F}||\overrightarrow{F′P}|}$=$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$，cos∠PFF′=$\frac{\overrightarrow{FF′}•\overrightarrow{FP}}{|\overrightarrow{FF′}||\overrightarrow{FP}|}$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$，
∴sin∠PF′F=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$，sin∠PFF′=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$或$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$（舍），
∵cos（∠PF′F-∠PFF′）=cos∠PF′Fcos∠PFF′+sin∠PF′Fsin∠PFF′
=$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$×$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$+$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$×$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$=0，
∴∠PF′F-∠PFF′=$\frac{π}{2}$，故②正确；
③当a=$\sqrt{2}$b时，线段PF的中点为M（$\frac{2\sqrt{3}-3}{6}b$，$\frac{\sqrt{3}}{6}b$），
则OM=$\frac{\sqrt{6}（\sqrt{3}-1）b}{6}$，MF=$\frac{\sqrt{6}（\sqrt{3}+1）}{6}b$，OF=2b，
∵MF-OF=$\frac{\sqrt{6}（\sqrt{3}+1）}{6}b$-2b＜$\frac{\sqrt{6}（\sqrt{3}-1）b}{6}$=OM，故③不正确；
④曲线C₁与C₂的离心率分别为：
e₁=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}$，e₂=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}+{b}^{2}}}{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}$=$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}$，故④正确；
综上所述，命题①②④正确，
故选：B．