Question

13．如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点．
（Ⅰ）求证：BM∥平面ADEF；
（Ⅱ） 求证：平面EDB⊥平面BCE
（Ⅲ）求三棱锥M-BDE的体积．

Answer 1

分析 （I）取DE中点N，连接MN，AN，由三角形中位线定理，结合已知中AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，易得四边形ABMN为平行四边形，所以BM∥AN，再由线面平面的判定定理，可得BM∥平面ADEF；
（II）由已知中正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，易得ED⊥平面ABCD，进而ED⊥BC，由勾股定理，我们易判断出△BCD中，BC⊥BD，由线面垂直的判定定理可得BC⊥平面BDE，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面BDE⊥平面BEC；
（III）利用三棱锥的体积计算公式可得V_M-BDE=V_B-DEM．

解答 （I）证明：取DE中点N，连接MN，AN
在△EDC中，M、N分别为EC，ED的中点，所以MN∥CD，且MN=$\frac{1}{2}$CD．
由已知AB∥CD，AB=$\frac{1}{2}$CD，所以MN∥AB，且MN=AB．
所以四边形ABMN为平行四边形，所以BM∥AN
又因为AN?平面ADEF，
且BM?平面ADEF，
所以BM∥平面ADEF．
（II）证明：在正方形ADEF中，ED⊥AD，
又因为平面ADEF⊥平面ABCD，
且平面ADEF∩平面ABCD=AD，
所以ED⊥平面ABCD，所以ED⊥BC．
在直角梯形ABCD中，
AB=AD=2，CD=4，可得BC=2$\sqrt{2}$
在△BCD中，BD=BC=2$\sqrt{2}$，CD=4，
所以BC⊥BD．
所以BC⊥平面BDE，又因为BC?平面BCE，
所以平面BDE⊥平面BEC．
（III）解：因为M为EC的中点，
所以${S}_{△DEM}=\frac{1}{2}{S}_{△CDE}=2$，
因为AD⊥CD，AD⊥DE，且DE与CD相交于D
所以AD⊥平面CDE．
因为AB∥CD，
所以三棱锥B-DME的高=AD=2，
所以V_M-BDE=V_B-DEM=$\frac{1}{3}{S}_{△DEM}•AD=\frac{4}{3}$．

点评 本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，熟练掌握空间直线与平面不同位置关系（平行和垂直）的判定定理、性质定理、定义及几何特征是解答本题的关键．