题目内容
【题目】设数列{an}的各项都是正数,且对任意n∈N* , 都有(an﹣1)(an+3)=4Sn , 其中Sn为数列{an}的前n项和.
(1)求证数列{an}是等差数列;
(2)若数列{ }的前n项和为Tn , 求Tn .
【答案】
(1)解:∵对任意n∈N*,都有(an﹣1)(an+3)=4Sn,即 .
∴当n≥2时,4an=4(Sn﹣Sn﹣1)= ﹣
=
﹣2an﹣1,
化为(an+an﹣1)(an﹣an﹣1﹣2)=0,
∵对任意n∈N*,an>0.
∴an+an﹣1>0.
∴an﹣an﹣1=2.
∴数列{an}是等差数列,公差为2
(2)解:由(1),a1=3,d=2,∴an=3+2(n﹣1)=2n+1.
∴ =4n(n+1),
∴ =
=
,n∈N*;
∴Tn=
【解析】(1)由已知利用“当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1”即可求得an与an﹣1的关系,进而证明数列{an}是等差数列.(2)利用(1)可得 =
=
,n∈N* , 再利用“裂项求和”即可得出.
【考点精析】关于本题考查的数列的前n项和和数列的通项公式,需要了解数列{an}的前n项和sn与通项an的关系;如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能得出正确答案.
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