题目内容

【题目】如图,几何体EF﹣ABCD中,CDEF为边长为2的正方形,ABCD为直角梯形,AB∥CD,AD⊥DC,AD=2,AB=4,∠ADF=90°.

(1)求证:AC⊥FB
(2)求二面角E﹣FB﹣C的大小.

【答案】
(1)证明:由题意得,AD⊥DC,AD⊥DF,且DC∩DF=D,

∴AD⊥平面CDEF,∴AD⊥FC,

∵四边形CDEF为正方形.∴DC⊥FC

由DC∩AD=D∴FC⊥平面ABCD,∴FC⊥AC

又∵四边形ABCD为直角梯形,

AB∥CD,AD⊥DC,AD=2,AB=4

,则有AC2+BC2=AB2

∴AC⊥BC

由BC∩FC=C,∴AC⊥平面FCB,∴AC⊥FB


(2)解:由(1)知AD,DC,DE所在直线相互垂直,

故以D为原点,DA,DC,DE所在直线分别为x,y,z轴,

建立如图所示的空间直角坐标系,

可得D(0,0,0),F(0,2,2),B(2,4,0),

E(0,0,2),C(0,2,0),A(2,0,0),

由(1)知平面FCB的法向量为

设平面EFB的法向量为

则有:

令z=1则

设二面角E﹣FB﹣C的大小为θ,

,∴


【解析】(1)由题意得,AD⊥DC,AD⊥DF,从而AD⊥FC,DC⊥FC,由此能证明AC⊥FB.(2)以D为原点,DA,DC,DE所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角E﹣FB﹣C的大小.

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