题目内容
(本小题满分13分)如图甲,直角梯形
中,
,
,点
、
分别在
,
上,且
,
,
,
,现将梯形
沿
折起,使平面
与平面
垂直(如图乙).

(Ⅰ)求证:
平面
;
(Ⅱ)当
的长为何值时,
二面角
的大小为
?
















(Ⅰ)求证:


(Ⅱ)当

二面角


(Ⅰ)见解析 (Ⅱ) 

法一:(Ⅰ)MB//NC,MB
平面DNC,NC
平面DNC,

MB//平面DNC.
同理MA//平面DNC,又MA
MB="M," 且MA,MB
平面MAB.

. (6分)
(Ⅱ)过N作NH
交BC延长线于H,连HN,
平面AMND
平面MNCB,DN
MN,
DN
平面MBCN,从而
,
为二面角D-BC-N的平面角. (9分)
由MB=4,BC=2,
知
,
.
(10分)
由条件知:
(13分)
解法二:如图,以点N为坐标原点,以NM,NC,ND所在直线分别作为
轴,
轴和
轴,建立空间直角坐标系
易得NC=3,MN=
,
设
,则
.
(I)
.

,
∵
,
∴
与平面
共面,又
,
. (6分)
(II)设平面DBC的法向量
,
则
,令
,则
,
∴
. (8分)又平面NBC的法向量
. (9分)



即:
又
即
(13分)




同理MA//平面DNC,又MA




(Ⅱ)过N作NH








由MB=4,BC=2,




由条件知:

解法二:如图,以点N为坐标原点,以NM,NC,ND所在直线分别作为





设


(I)



∵

∴




(II)设平面DBC的法向量



则




∴







即:




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