Question

在五棱锥P-ABCDE中，PA=AB=AE=4a，PB=PE=a，BC=DE=2a，∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°．（1）若为中点，求证：平面.
（2）求二面角A-PD-E的正弦值；（3）求点C到平面PDE的距离.

Answer 1

（1）见解析
（2）二面角A-PD-E的正弦值为
(3) a

（1）∵∠AED＝90°，∴AE⊥ED．∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥ED．∴ED⊥平面PAE，所以DE⊥AG。，为中点，所以AG⊥PE，DE∩PE＝E，∴AG⊥平面PDE ………………………（4分）
（2）∵∠AED＝90°，∴AE⊥ED．
∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥ED．∴ED⊥平面PAE．
过A作AG⊥PE于G，过DE⊥AG，∴AG⊥平面PDE．过G作GH⊥PD于H，连AH，
由三垂线定理得AH⊥PD．∴∠AHG为二面角A-PD-E的平面角．
在直角△PAE中，AG＝2a．在直角△PAD中，AH＝a
∴在直角△AHG中，sin∠AHG＝＝．
∴二面角A-PD-E的正弦值为．       …………………………………………..( 8分)
（3）∵∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°, BC=DE=2a,AB=AE=4a,
取AE中点F，连CF，∵AF∥=BC,∴四边形ABCF为平行四边形．
∴CF∥AB，而AB∥DE，∴CF∥DE，而DE平面PDE，CF平面PDE，
∴CF∥平面PDE．∴点C到平面PDE的距离等于F到平面PDE的距离．
∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥DE．
又∵DE⊥AE，∴DE⊥平面PAE．∴平面PAE⊥平面PDE．
∴过F作FG⊥PE于G，则FG⊥平面PDE．∴FG的长即F点到平面PDE的距离．在△PAE中，PA=AE=4a，F为AE中点，FG⊥PE，  
∴FG=a． ∴点C到平面PDE的距离为a．（或用等体积法求）…………（12分）