题目内容
【题目】在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为 的正方形,AA1=3,E是AA1的中点,过C1作C1F⊥平面BDE与平面ABB1A1交于点F,则CF与平面ABCD所成角的正切值为 .
【答案】
【解析】解:连结AC、BD,交于点O, ∵四边形ABCD是正方形,AA1⊥底面ABCD,
∴BD⊥平面ACC1A1 ,
则当C1F与EO垂直时,C1F⊥平面BDE,
∵F∈平面ABB1A1 , ∴F∈AA1 ,
∴∠CAF是CF与平面ABCD所成角,
在矩形ACC1A1中,△C1A1F∽△EAO,
则 ,
∵A1C1=2AO= AB=2,AE= ,
∴A1F= ,∴AF= ,
∴tan∠CAF= = .
∴CF与平面ABCD所成角的正切值为 .
故答案为 .
连结AC、BD,交于点O,当C1F与EO垂直时,C1F⊥平面BDE,从而F∈AA1 , 进而∠CAF是CF与平面ABCD所成角,由△C1A1F∽△EAO,求出AC,由此能求出CF与平面ABCD所成角的正切值.
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