题目内容

【题目】某市为了制定合理的节电方案,供电局对居民用电进行了调查,通过抽样,获得了某年200户居民每户的月均用电量(单位:度),将数据按照[0,100),[100,200),[200,300),[300,400),[400,500),[500,600),[600,700),[700,800),[800,900]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(Ⅰ)求直方图中m的值并估计居民月均用电量的中位数;
(Ⅱ)从样本里月均用电量不低于700度的用户中随机抽取4户,用X表示月均用电量不低于800度的用户数,求随机变量X的分布列及数学期望.

【答案】解:(Ⅰ)1﹣100×(0.0004+0.0008+0.0021+0.0025+0.0006+0.0004+0.0002)=2m×100,∴m=0.0015.
设中位数是x度,前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5,
而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5,
所以400<x<500,
故x=408,即居民月均用电量的中位数为408度.
(Ⅱ)200户居民月均用电量在[700,800)度的户数是8,月均用电量在[800,900]度的户数是4.
故随机变量X的取值为0,1,2,3,4,且
所以随机变量X的分布列为:

X

0

1

2

3

4

P


【解析】(Ⅰ)利用小矩形的面积之和为1求解,(Ⅱ)200户居民月均用电量在[700,800)度的户数是8,月均用电量在[800,900]度的户数是4.故随机变量X的取值为0,1,2,3,4,求出相应的概率即可.
【考点精析】解答此题的关键在于理解频率分布直方图的相关知识,掌握频率分布表和频率分布直方图,是对相同数据的两种不同表达方式.用紧凑的表格改变数据的排列方式和构成形式,可展示数据的分布情况.通过作图既可以从数据中提取信息,又可以利用图形传递信息,以及对离散型随机变量及其分布列的理解,了解在射击、产品检验等例子中,对于随机变量X可能取的值,我们可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.离散型随机变量的分布列:一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn,X取每一个值 xi(i=1,2,......)的概率P(ξ=xi)=Pi,则称表为离散型随机变量X 的概率分布,简称分布列.

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