题目内容
【题目】在如图所示的圆柱O1O2中,等腰梯形ABCD内接于下底面圆O1 , AB∥CD,且AB为圆O1的直径,EA和FC都是圆柱O1O2的母线,M为线段EF的中点.
(1)求证:MO1∥平面BCF;
(2)已知BC=1,∠ABC=60°,且直线AF与平面ABC所成的角为30°,求平面MAB与平面EAD所成的角(锐角)的余弦值.
【答案】
(1)证明:如图,取BC的中点N,连接FN,O1N,则O1N平行且等于MF,
∴O1NFM是平行四边形,∴O1M∥FN,
∵MO1平面BCF,FN平面BCF,
∴MO1∥平面BCF;
(2)在Rt△ABC中,∵BC=1,∠ABC=60°,∴AC= ,AB=2,
∵等腰梯形ABCD内接于下底面圆O1,AB∥CD,且AB为圆O1的直径,∴DC=1
直线AF与平面ABC所成的角为30°,∴∠FAC=30°,在Rt△AFC中,可得FC=1.
如图以C为原点,CA、CB、CF分别为x、y、z轴建立坐标系C﹣xyz,
则A( ,B(0,1,0),E(
,0,1),F(0,0,1),∴M(
,0,1),
∵BD⊥AD,AE⊥面ABC,∴DB⊥面AED,平面ADE的法向量为 =(
,﹣
,0);
设面ABM的法向量为 ,
,
,取
,
平面MAB与平面EAD所成的角(锐角)的余弦值为|cos< >|=
【解析】(1)取BC的中点N,连接FN,证明O1M∥FN即可;(2)以C为原点,CA、CB、CF分别为x、y、z轴建立坐标系C﹣xyz,求出法向量,利用向量的夹角公式求解.
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识,掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行,以及对空间角的异面直线所成的角的理解,了解已知为两异面直线,A,C与B,D分别是
上的任意两点,
所成的角为
,则
.
