题目内容
【题目】若正数x,y满足15x﹣y=22,则x3+y3﹣x2﹣y2的最小值为 .
【答案】1
【解析】解:由正数x,y满足15x﹣y=22,可得y=15x﹣22>0,则x> ,y>0, 又x3+y3﹣x2﹣y2=(x3﹣x2)+(y3﹣y2),
其中y3﹣y2+ y=y(y2﹣y+
)=y(y﹣
)2≥0,
即y3﹣y2≥﹣ y,
当且仅当y= 时取得等号,
设f(x)=x3﹣x2 , f(x)的导数为f′(x)=3x2﹣2x=x(3x﹣2),
当x= 时,f(x)的导数为
×(
﹣2)=
,
可得f(x)在x= 处的切线方程为y=
x﹣
.
由x3﹣x2≥ x﹣
(x﹣
)2(x+2)≥0,
当x= 时,取得等号.
则x3+y3﹣x2﹣y2=(x3﹣x2)+(y3﹣y2)≥ x﹣
﹣
y≥
﹣
=1.
当且仅当x= ,y=
时,取得最小值1.
故答案为:1.
由题意可得x> ,y>0,又x3+y3﹣x2﹣y2=(x3﹣x2)+(y3﹣y2),求出y3﹣y2≥﹣
y,当且仅当y=
时取得等号,设f(x)=x3﹣x2 , 求出导数和单调区间、极值和最值,即可得到所求最小值.
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