题目内容
已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an-3n(n∈N*).
(1)证明数列{an+3}是等比数列,求出数列{an}的通项公式;
(2)设bn=
an,求数列{bn}的前n项和Tn.
(1)证明数列{an+3}是等比数列,求出数列{an}的通项公式;
(2)设bn=
n |
3 |
(1)证明:因为Sn=2an-3n,所以Sn+1=2an+1-3(n+1),
则an+1=2an+1-2an-3,所以an+1=2an+3,
所以an+1+3=2(an+3),
因为n=1时,a1=S1=2a1-3,所以a1=3,所以a1+3=6,
所以数列{an+3}是以6为首项,2为公比的等比数列;
所以an+3=6•2n-1=3•2n,
所以an=3•2n-3;
(2)bn=
an=n•2n-n,则Tn=(1•21+2•22+…+n•2n)-(1+2+…+n)
令Tn′=1•21+2•22+…+n•2n,则2Tn′=1•22+2•23+…+n•2n+1,
两式相减可得-Tn′=1•21+1•22+1•23+…+1•2n-n•2n+1=2n+1-2-n•2n+1,
∴Tn′=(n-1)•2n+1+2,
∴Tn=(n-1)•2n+1+2-
.
则an+1=2an+1-2an-3,所以an+1=2an+3,
所以an+1+3=2(an+3),
因为n=1时,a1=S1=2a1-3,所以a1=3,所以a1+3=6,
所以数列{an+3}是以6为首项,2为公比的等比数列;
所以an+3=6•2n-1=3•2n,
所以an=3•2n-3;
(2)bn=
n |
3 |
令Tn′=1•21+2•22+…+n•2n,则2Tn′=1•22+2•23+…+n•2n+1,
两式相减可得-Tn′=1•21+1•22+1•23+…+1•2n-n•2n+1=2n+1-2-n•2n+1,
∴Tn′=(n-1)•2n+1+2,
∴Tn=(n-1)•2n+1+2-
n(n+1) |
2 |
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