题目内容
【题目】已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)当时,函数
在
上的最小值为
,若不等式
有解,求实数
的取值范围.
【答案】(1)答案见解析;(2)
【解析】
(1)求出导函数,然后根据的符号进行分类讨论,并借助解不等式组的方法得到单调区间;(2)根据(1)中的结论求出当
时,函数
在
上的最小值
,因此问题转化为
有解,即
有解
,构造函数
,求出函数
的最小值即可得到所求.
(1)由,
得,
①当时,
令,得
,
所以,或
,即
或
,
解得或
.
令,得
,
所以或
,即
或
,
解得或
.
所以函数的单调递增区间为
,
;单调递减区间为
.
②当时,
令,得
,由①可知
;
令,得
,由①可知
或
.
所以函数的单调递增区间为
;单调递减区间为
,
.
综上可得,
当时,
的单调递增区间为
,
;单调递减区间为
.
当时,
的单调递增区间为
;单调递减区间为
,
.
(2)由(1)可知若,则当
时,函数
在
上单调递减,在
上单调递增,
所以,
所以不等式有解等价于
有解,
即有解
,
设,则
,
所以当时,
,
单调递减,
当时,
,
单调递增,
所以的极小值也是最小值,且最小值为
,
从而,
所以实数的取值范围为
.
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