Question

3．已知α、β∈（0，$\frac{π}{2}$）且sinβ=cos（α+β）•sinα．
（1）求证：tanβ=$\frac{sin2α}{2+2si{n}^{2}α}$；
（2）求tanβ的最大值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用两角和差的三角公式，同角三角函数的基本关系，证得要证的等式成立．
（2）利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系，化简tanβ的解析式，再利用基本不等式求得tanβ的最大值．

解答 解：（1）由于α、β∈（0，$\frac{π}{2}$）且sinβ=cos（α+β）•sinα，
∴sinβ=cosαcosβsinα-sinαsinβsinα，即 tanβ=sinαcosα-sin²αtanβ，
解得tanβ=$\frac{sinαcosα}{1{+sin}^{2}α}$=$\frac{sin2α}{2+2si{n}^{2}α}$，即tanβ=$\frac{sin2α}{2+2si{n}^{2}α}$成立．
（2）由于tanβ=$\frac{sin2α}{2+2si{n}^{2}α}$=$\frac{2sinαcosα}{{4sin}^{2}α+{2cos}^{2}α}$=$\frac{2tanα}{{4tan}^{2}α+2}$ $\frac{2}{4tanα+\frac{2}{tanα}}$≤$\frac{2}{2\sqrt{4×2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
当且仅当4tanα=$\frac{2}{tanα}$，即tanα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，取等号，故tanβ的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题主要考查两角和差的三角公式，同角三角函数的基本关系，基本不等式的应用，属于基础题．