题目内容
【题目】已知函数,
.
(I)求证:在区间
上单调递增;
(II)若,函数
在区间
上的最大值为
,求
的试题分析式.并判断
是否有最大值和最小值,请说明理由(参考数据:
)
【答案】(I)证明见解析;(II)有最小值,没有最大值.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)求出的导数,设
,求出
的导数,运用单调性即可得证;(Ⅱ)求出
的导数,求得单调区间,极值和当
时,
时的最大值,结合零点存在定理,以及函数的单调性即可判断
有最小值,没有最大值.
试题解析:(I)证明:∵,
∴,
设,则
,
∴当时,
,∴
在区间
上单调递增.
∵,
∴当时,
.
∴在区间
上单调递增.
(II)∵,
∴的定义域是
,且
,即
.
∵,∴
,
当变化时,
、
变化情况如下表:
∴当时,
,
在区间
上的最大值是
.
当时,
在区间
上的最大值为
.
即.
(1)当时,
.
由(I)知,在
上单调递增.
又,
,
∴存在唯一,使得
,且当
时,
,
单调递减,当
时,
,
单调递增.
∴当时,
有最小值
.
(2)当时,
,
∴在
单调递增.
又,
∴当时,
.
∴在
上单调递增.
综合(1)(2)及试题分析式可知,
有最小值,没有最大值.
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练习册系列答案
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性别与读营养说明列联表:
男 | 女 | 总计 | |
读营养说明 | 16 | 8 | 24 |
不读营养说明 | 4 | 12 | 16 |
总计 | 20 | 20 | 40 |
(Ⅰ)根据以上列联表进行独立性检验,能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与是否读营养说明之间有关系?
(Ⅱ)从被询问的16名不读营养说明的大学生中,随机抽取2名学生,求抽到男生人数的分布列及其均值(即数学期望).
(注:,其中
为样本容量.)