题目内容
【题目】在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,点D是BC的中点.
(1)求证:A1C∥平面AB1D;
(2)设M为棱CC1的点,且满足BM⊥B1D,求证:平面AB1D⊥平面ABM.
【答案】
(1)证明:记A1B∩AB1=O,连接OD.
∵四边形AA1B1B为矩形,∴O是A1B的中点,
又∵D是BC的中点,∴A1C∥OD.
又∵A1C平面AB1D,OD平面AB1D,
∴A1C∥平面AB1D.
(2)证明:∵△ABC是正三角形,D是BC的中点,
∴AD⊥BC.
∵平面ABC⊥平面BB1C1C,
平面ABC∩平面BB1C1C=BC,AD平面ABC,
∴AD⊥平面BB1C1C.
或利用CC1⊥平面ABC证明AD⊥平面BB1C1C.
∵BM平面BB1C1C,∴AD⊥BM.
又∵BM⊥B1D,AD∩B1D=D,AD,B1D平面AB1D,
∴BM⊥平面AB1D.
又∵BM平面ABM,
∴平面AB1D⊥平面ABM.
【解析】(1)先设A1B∩AB1=O,连接OD,再利用三角形的中位线可证A1C∥OD,进而利用线面平行的判定定理可证A1C∥平面AB1D;(2)先利用面面垂直的性质定理可证AD⊥平面BB1C1C,进而可证AD⊥BM,再利用线面垂直的判定定理可证BM⊥平面AB1D,进而利用面面垂直的判定定理可证平面AB1D⊥平面ABM.