题目内容
【题目】在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： 
（a＞b＞0）过点（ 
，1），且与直线 x+2y﹣4=0相切．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若椭圆E与x轴交于M、N两点，椭圆E内部的动点P使|PM|、|PO|、|PN|成等比数列，求 
的取值范围．
【答案】
（1）解：∵椭圆E： 
（a＞b＞0）与直线 
x+2y﹣4=0相切，联立 
，
整理得（ 
）x2﹣2 a2x+4a2﹣a2b2=0，
由△=0，可得 
…①
∵椭圆E： （a＞b＞0）过点（ ，1），∴ 
…②
由①②得a2=4，b2=2．∴椭圆E的方程： 
（2）解：由（1）得M（﹣2，0））、PN（2，0），设P（m，n）
∵|PM|、|PO|、|PN|成等比数列，
∴|PO|2=|PN||PM|（m2+n2）2= 
m2=n2+2，…③
∵ 
，∴ 
=2n2﹣2
∵P在椭圆E内部，∴0≤n2＜1，
∴ 
．即 
的取值范围为[﹣2，0）
【解析】（1）由椭圆E： （a＞b＞0）与直线 x+2y﹣4=0相切，联立 ，由△=0，可得 …①，由椭圆E： （a＞b＞0）过点（ ，1），∴ …②，由①②得a2 ， b2（2）设P（m，n），由|PO|2=|PN||PM|（m2+n2）2= 
m2=n2+2， ∴ =2n2﹣2，由n的范围求得其范围，
【考点精析】解答此题的关键在于理解椭圆的标准方程的相关知识，掌握椭圆标准方程焦点在x轴：
，焦点在y轴：
．
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