题目内容
16．判断函数y=x+$\frac{1}{x}$的单调性并证明．分析 函数f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）是增函数，在（-1，0），（0，1）是减函数，再利用函数单调性的定义证明：取值，作差，变形，定号下结论．
解答 解：函数f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）是增函数，在（-1，0），（0，1）是减函数．
理由如下：设x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=（x1+$\frac{1}{{x}_{1}}$）-（x2+$\frac{1}{{x}_{2}}$）=（x1-x2）+（$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$）
=（x1-x2）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵x1＜x2，∴x1-x2＜0，
若x1＜x2＜-1，或1＜x1＜x2，则x1x2＞1，即有$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，
∴f（x1）＜f（x2）．
若-1＜x1＜x2＜0，或0＜x1＜x2＜1，则0＜x1x2＜1，即有$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$＜0，
∴f（x1）＞f（x2）．
∴函数f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）是增函数，在（-1，0），（0，1）是减函数．
点评 本题考查函数单调性的判断与证明，解题的关键是掌握函数单调性的定义证明步骤：取值，作差，变形，定号下结论．
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