题目内容
【题目】如图是某神奇“黄金数学草”的生长图．第1阶段生长为竖直向上长为1米的枝干，第2阶段在枝头生长出两根新的枝干，新枝干的长度是原来的
，且与旧枝成120°，第3阶段又在每个枝头各长出两根新的枝干，新枝干的长度是原来的，且与旧枝成120°，……，依次生长，直到永远．
（1）求第3阶段“黄金数学草”的高度；
（2）求第13阶段“黄金数学草”的高度；
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）根据示意图，计算出第
阶段、第
阶段生长的高度，即可求解出第阶段“黄金数学草”的高度；
（2）考虑第偶数阶段、第奇数阶段“黄金数学草”高度的生长量之间的关系，构造数列，利用数列求和完成第
阶段“黄金数学草”的高度的计算.
（1）因为第一阶段：
，
所以第阶段生长：
，第阶段的生长：
，
所以第阶段“黄金数学草”的高度为：；
（2）设第
个阶段生长的“黄金数学草”的高度为
，则第
个阶段生长的“黄金数学草”的高度为
，第阶段“黄金数学草”的高度为
，
所以
，
所以数列
按奇偶性分别成公比为
等比数列，
所以
.
所以第阶段“黄金数学草”的高度为：
.
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