题目内容
【题目】已知函数,其中,且 .
(1)当( 为自然对数的底)时,讨论的单调性;
(2)当 时,若函数存在最大值,求的最小值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】分析:(1)求导可得,分类讨论:
①当,在上是减函数;
②当时,在上递减,在上递增.
(2)当,.据此可知:
①当时,无极大值,也无最大值;
②当,的极大值为,.其中即,令,结合导函数考查其单调性讨论可得的最小值为,此时.
详解:(1)由题,,
①当,当,在上是减函数;
②当,当,,在上是减函数;
当,,在上是增函数.
即当时,在上个递减;
当时,在上递减,在上递增.
(2)当,,.
①当时,,,则,在上为增函数,无极大值,也无最大值;
②当,设方程的根为,得.
即,
所以在上为增函数,在上为减函数,
则的极大值为,.
令,令,.
.
当时;当时,所以为极小值也是最小值点.
且,即的最小值为,此时.
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