题目内容

【题目】已知函数,其中 .

(1)当 为自然对数的底)时,讨论的单调性;

(2)当 时,若函数存在最大值,求的最小值.

【答案】(1)见解析;(2)

【解析】分析:(1)求导可得分类讨论:

①当上是减函数;

②当时,上递减,在上递增.

(2)当.据此可知:

①当时,无极大值,也无最大值;

②当的极大值为.其中即结合导函数考查其单调性讨论可得的最小值为,此时.

详解:(1)由题

①当,当上是减函数;

②当,当上是减函数;

上是增函数.

即当时,上个递减;

时,上递减,在上递增.

(2)当.

①当时,,则上为增函数,无极大值,也无最大值;

②当,设方程的根为,得.

所以上为增函数,在上为减函数,

的极大值为.

,令.

.

;当,所以极小值也是最小值点.

,即的最小值为,此时.

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