题目内容
【题目】设、
分别是椭圆
的左、右焦点,
、
两点分别是椭圆
的上、下顶点,
是等腰直角三角形,延长
交椭圆
于
点,且
的周长为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设点是椭圆
上异于
、
的动点,直线
、
与直线
分别相交于
、
两点,点
,试问:
外接圆是否恒过
轴上的定点(异于点
)?若是,求该定点坐标;若否,说明理由.
【答案】(1);(2)是,且定点坐标为
.
【解析】
(1)利用椭圆的定义可求得的值,再由
是等腰直角三角形可求得
、
的值,由此可得出椭圆
的方程;
(2)设点,求出直线
、
的斜率之积为
,设直线
的方程为
,可得出直线
的方程,进而可求得点
、
的方程,假设
的外接圆过
轴上的定点
,求出
的外接圆圆心
的坐标,由
结合两点间的距离公式可求得
的值,进而可求得定点的坐标.
(1)因为的周长为
,由定义可得
,
,
所以,所以
,
又因为是等腰直角三角形,且
,所以
,
所以椭圆的方程为:
;
(2)设,
,则
,
所以直线与
的斜率之积
,
设直线的斜率为
,则直线
的方程为:
,
直线的方程:
,
由,可得
,同理
,
假设的外接圆恒过定点
,
,
由于线段的垂直平分线所在直线的方程为
,
线段的垂直平分线所在直线的方程为
,则其圆心
,
又,所以
,解得
,
所以的外接圆恒过定点
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】垃圾种类可分为可回收垃圾,干垃圾,湿垃圾,有害垃圾,为调查中学生对垃圾分类的了解程度某调查小组随机抽取了某市的100名高中生,请他们指出生活中若干项常见垃圾的种类,把能准确分类不少于3项的称为“比较了解”少于三项的称为“不太了解”调查结果如下:
0项 | 1项 | 2项 | 3项 | 4项 | 5项 | 5项以上 | |
男生(人) | 1 | 10 | 17 | 14 | 14 | 10 | 4 |
女生(人) | 0 | 8 | 10 | 6 | 3 | 2 | 1 |
(1)完成如下列联表并判断是否有95%的把握认为了解垃圾分类与性别有关?
比较了解 | 不太了解 | 合计 | |
男生 | __________ | __________ | __________ |
女生 | __________ | __________ | __________ |
合计 | __________ | __________ | __________ |
(2)从能准确分类不少于3项的高中生中,按照男、女生采用分层抽样的方法抽取9人的样本.
(i)求抽取的女生和男生的人数;
(ii)从9人的样本中随机抽取两人,求男生女生都有被抽到的概率.
参考数据:
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
,
.
【题目】某精密仪器生产厂准备购买,
,
三种型号数控车床各一台,已知这三台车床均使用同一种易损件.在购进机器时,可以额外购买这种易损件作为备件,每个0.1万元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个0.2万元.现需要决策在购买机器时应同时购买几个易损件,为此搜集并整理了三种型号各120台车床在一年使用期内更换的易损零件数,得到如下统计表:
每台车床在一年中更换易损件的件数 | 5 | 6 | 7 | |
频数 |
| 60 | 60 | 0 |
| 30 | 60 | 30 | |
| 0 | 80 | 40 |
将调查的每种型号车床在一年中更换的易损件的频率视为概率,每台车床在易损件的更换上相互独立.
(Ⅰ)求一年中,
,
三种型号车床更换易损件的总数超过18件的概率;
(Ⅱ)以一年购买易损件所需总费用的数学期望为决策依据,问精密仪器生产厂在购买车床的同时应购买18件还是19件易损件?