题目内容
【题目】如图,已知矩形所在平面垂直于直角梯形
所在平面于直线
,且
,
且
∥
.
(Ⅰ)设点为棱
中点,求证:
平面
;
(Ⅱ)线段上是否存在一点
,使得直线
与平面
所成角的正弦值等于
?若存在,试确定点
的位置;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)当点与点
重合时,直线
与平面
所成角的正弦值为
,理由见解析.
【解析】试题分析:(1)由平面平面
,及
为矩形可知
,所以
平面
,可以
为原点,
为坐标轴建立空间直角坐标系,从而利用向量得到
,平面
的方向向量
,通过
证明
平面
;(2)可求得平面
的方向向量
,
与平面
的夹角和
与
的夹角互余,通过向量的运算即可求得
坐标.
试题解析:(1)证明:由已知,平面平面
,且
,则
平面
,所以
两两垂直,故以
为原点,
分别为
轴
轴,
轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 .
则,所以
.
易知平面的一个法向量等于
,所以
,所以
,
又平面
,所以
平面
.
(2)当点与点
重合时,直线
与平面
所成角的正弦值为
.
理由如下:
因为,设平面
的法向量为
,
由,得
,
即,得平面
的一个法向量等于
,
假设线段上存在一点
,使得直线
与平面
所成的角
的正弦值等于
.
设,
则.
所以
.
所以,解得
或
(舍去)
因此,线段上存在一点
,当
点与
点重合时,直线
与平面
所成角的正弦值等于
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目